Geodäsie & Karten
2005-05-10

Großkreise, Orthodrom, Loxodrom

Grosskreise lassen sich am einfachsten im Zusammenhang mit den "eigenartigen" Flugrouten von Transatlantikflügen erklären. Man mag sich bei Anblick der Flugroute eines Fluges beispielsweise von Frankfurt nach Los Angeles eingezeichnet auf einer "normalen", meist in Mercator Projektion gezeichneten Karte fragen: Warum fliegen die immer über Grönland, wenn es doch direkt viel näher wäre?

Hier spielt uns die Kartenprojektion und die Rundung der Erde einen Streich. Sehen wir uns auf nebenstehender Grafik einmal an, wie die in etwa geflogene Route (gelb) und die vermeintlich kürzeste Route (violett) auf der Karte an. In Wirklichkeit wird meist nicht so weit über Kanada geflogen, aber das hat wohl mit den Windverhältnissen und der Luftraumeinteilung über den USA zu tun. Während die gelbe Linie einen Umweg über Grönland zu machen scheint, ist die Strecke mit etwa 9300 km um über 1000 km kürzer als die "direkte" violette Linie mit 10600 km. Warum das so ist, wird deutlich, wenn man sich die Erde dreidimensional als Kugel betrachtet.

Auf dem nächsten Bild sind wieder die "direkte" Linie in violett und die kürzeste Linie in gelb eingezeichnet. Hier wird jetzt auch deutlich, dass der Umweg obenrum über Grönland kein Umweg ist, sondern tatsächlich der kürzeste Weg. Hingegen ist die violette Linie ein Umweg der uns viel zu weit südlich führt. Die kürzeste Linie von A nach B auf einer Kugel führt immer über einen Großkreis. Ein Großkreis ist ein Kreis, der den gleichen Radius wie die Kugel selbst hat. Bewegt man sich auf einem Grosskreis, ist das eine gerade Linie. So ist beispielsweise der Äquator ein Großkreis, alle Längengrade sind Großkreise und es gibt beliebige weitere, wie der auf der nebenstehenden Zeichnung eingezeichnete gelbe Kreis, auf den man senkrecht draufsieht. Die Breitengradkreise sind (bis auf den Äquator) keine Großkreise, deren Radien nehmen ja in Richtung der Pole bis auf Null ab. So schneiden auch alle Großkreise den Äquator in zwei Punkten (was die Breitengradkreise nicht tun). In einer Mercator-Projektion sind die Großkreise von West nach Ost umso stärker gekrümmt, je näher sie an die Pole reichen. Der Äquator selbst ist auch auf dieser Karte eine Gerade. Die Längengrade, die ja ebenfalls Großkreise sind, sind bei diesen Karten immer Geraden, von Nord nach Süd fliegt man keine "Kurve", man kann einfach den Längengraden folgen.

Kapitäne von Luft- und Wasserfahrzeugen kenne die gelbe Linie als Orthodrom und die violette Linie als Loxodrom. Letztere hat natürlich den einen Vorteil, dass auf einer Mercator-Karte eine gerade Linie zwischen Anfangspunkt und Endepunkt der Reise gezogen werden kann und dann die Linie alle Meridiane (Längengrade) im gleichen Winkel schneidet. Das bedeutet, man kann nach einem konstanten Kurs auf dem Kompass fahren oder fliegen und kommt (wenn auch auf Umwegen) zum Ziel. Würde man auf der violetten Kurve immer weiter fahren, so käme man auf einem spirlaförmigen Kurs mit immer enger werdenen "Runden" irgendwann am Südpol an, während einen die gelbe Linie nach einer Umrundung der Erde wieder an den Ausgangspunkt zurückbringt.