Geodäsie & Karten
2007-02-03

Kartenprojektionen

Kartenprojektionen versuchen der Oberfläche der Erde oder einen Teil davon auf einer ebenen Fläche abzubilden. Aufgrund der Krümmung der Erde in allen Richtungen ist das nur mit Einschränkungen möglich. Die Schale einer Orange läßt sich auch nicht einfach so flach auf dem Tisch ausbreiten. Man muss die Oberfläche einer Kugel immer auf irgendeine Art auf eine zweidimensionale Fläche projizieren um sie abbilden zu können.

 

Eigenschaften der Kartenprojektionen

Durch diesen Abbildungsprozess kommt es immer zu einigen Verfälschungen der Konformität, Entfernung, Richtung und/oder Größe. Manche Projektionen minimieren einige dieser Fehler auf Kosten anderer. Andere versuchen alle diese Eigenschaften nur mäßig zu verfälschen. Dies wird natürlich umso gravierender, je größer das Gebiet ist, über das sich die Karte erstreckt. Nachfolgend werden einige Eigenschaften aufgezählt, die Karten haben sollten und können. Man muss sich aber bewusst sein, dass bestenfalls ein Globus alle diese Eigenschaften auf einmal haben kann.

 

Gleichförmig (konform)

Man bezeichnet eine Kartenprojektion als gleichförmig, wenn der Masstab an jedem Punkt der Karte in jeder Richtung identisch ist. Der Massstab kann dann allerdings nicht überall der gleiche sein. Meridiane (Längengrade) and Parallelen (Breitengrade) schneiden sich in rechten Winkeln. Formen werden auf gleichförmigen Karten lokal erhalten. Eine Karte kann nicht gleichzeitig formengetreu und flächengetreu sein.

 

Entfernungsgetreu (Äquidistant)

Eine Karte wird als Äquidistant bezeichnet, wenn sie Entfernungen vom Zentrum der Karte genauso wiedergibt, wie alle anderen Entfernungen auf der Karte. Unter Äquidistant wird manchmal auch verstanden, wenn die Abstände im Netz der Längen- und Breitengrade auf der Karte gleich sind.

 

Richtungsgetreu

Eine Karte ist richtungstreu, wenn die Azimute (Winkel von einem Punkt auf einer Linie zu einem anderen Punkt) in allen Richtungen korrekt wiedergegeben werden. Eine Mercatorkarte ist richtungstreu.

 

Maßstabsgetreu

Eine Karte ist maßstabsgetreu, wenn das Verhältnis zwischen einer Entfernung auf der Karte und der gleichen Entfernung auf der Erde überall auf der Karte das Gleiche ist.

 

Flächengetreu

Eine Karte ist flächentreu, wenn sie Flächen so darstellt, dass alle Flächen auf der Karte das gleiche Verhältnis zu den Flächen auf der Erde haben, die sie darstellen. Zur Flächentreue sei folgendes interessantes Beispiel gezeigt: Afrika hat als einer der größten Kontinente (zweitgrößter nach Asien) eine Fläche von 29 800 000 km², Grönland als größte Insel der Erde nur 2 175 600 km² (also eine Fläche die um das 13,7 fache kleiner ist!). Auf einer Karte in Mercator Projektion sieht Grönland ebenso groß aus wie Afrika. Die azimutale Lambert Projektion hingegen ist flächengetreu und gibt Grönland im Flächenvergleich zu Afrika richtig wieder. (Die Karten der nachfolgenden Abbildung wurde mit diesem Online-Kartengenerator erzeugt.)

 

Größenvergleich zwischen Grönland und Afrika in der richtungs- aber nicht flächengetreuen Mercatorprojektion (links) und in der flächengetreuen Lambert-Projektion (rechts)
Grönland und Afrika in der richtungs- aber nicht flächengetreuen MercatorprojektionGrönland und Afrika in der flächengetreuen Lambert-Projektion

 

Einteilung der Kartenprojektionen

Es gibt mittlerweile ein große Anzahl Kartenprojektionen, die jedoch nicht alle echte Projektionen sind in dem Sinn, dass sie durch Lichtstrahlen die einen Globus durch- oder beleuchten darstellbar sind. Zahlreiche wichtige Projektionen werden auf mathematischem Weg erzielt. Bei den "echten" Projektionen, deren zustandekommen wesentlich leichter vorstellbar ist, gibt es drei Hauptgruppen, die nachfolgend kurz beschrieben werden sollen.

 

Planare oder azimutale Projektionen

Bei einer planaren Projektion wird, wie der Name schon sagt, die Kugeloberfläche auf eine Ebene projiziert. Hierbei sind zunächst drei Projektionsarten zu unterscheiden.

Projektionsarten der azimutalen Projektion
Projektionsarten der azimutalen Projektion

 

Während bei der orthografischen Projektion mit parallelen Lichtstrahlen projiziert wird, "sitzt" bei der stereografischen Projektion die Lichtquelle an der hinteren Wand der Kugel und bei der gnomonischen Projektion im Zentrum (Gnomonik ist übrigens die Lehre von Sonnenuhren; ein Gnomon der Stab der Sonnenuhr der den Schatten wirft).
Weiterhin unterscheidet man, ob die Fläche auf die projiziert wird, die Kugel am Äquator berührt (äquatoriale Projektion), an einem der Pole (polare Projektion) oder irgendwo dazwischen (schiefwinklige oder zwischenständige Projektion). Neben der tangentialen Projektion, wo die Ebene die Kugel in einem Punkt berührt, gibt es noch die Variante, dass die Ebene die Kugel schneidet. Folgende Bilder zeigen einige der unterschiedlichen Möglichkeiten.

Während bei der orthografischen Projektion mit parallelen Lichtstrahlen projiziert wird, "sitzt" bei der stereografischen Projektion die Lichtquelle an der hinteren Wand der Kugel und bei der gnomonischen Projektion im Zentrum (Gnomonik ist übrigens die Lehre von Sonnenuhren; ein Gnomon der Stab der Sonnenuhr der den Schatten wirft).
Weiterhin unterscheidet man, ob die Fläche auf die projiziert wird, die Kugel am Äquator berührt (äquatoriale Projektion), an einem der Pole (polare Projektion) oder irgendwo dazwischen (schiefwinklige oder zwischenständige Projektion). Neben der tangentialen Projektion, wo die Ebene die Kugel in einem Punkt berührt, gibt es noch die Variante, dass die Ebene die Kugel schneidet. Folgende Bilder zeigen einige der unterschiedlichen Möglichkeiten.

orthografische planare äquatoriale (links) und orthografische planare polare Projektion (rechts)
orthografische planare äquatoriale Projektionorthografische planare polare Projektion

Die orthographische planare Projektion ist eine perspektivische Projektion aus unendlicher Entfernung. Aus diesem Grund wird sie häufig dazu verwendet, die Ansicht der Erde aus dem Weltraum wiederzugeben. Wie auch bei der Lambertprojektion und der stereographischen Projektion kann nur eine Hemisphäre auf einmal dargestellt werden. Die Projektion ist weder flächengetreu noch gleichförmig, außerdem nimmt die Verzerrung zum Rand der Hemisphäre stark zu. Die Richtungen vom Zentrum der Projektion aus sind wahre Richtungen. Diese Projektion war den Griechen und Ägyptern bereits vor mehr als 2000 Jahren bekannt.

stereografische planare äquatoriale (links) und gnomonische planare äquatoriale Projektion (rechts)
stereografische planare äquatoriale Projektiongnomonische planare äquatoriale Projektion

Das auffälligste Merkmal der azimutal äquidistanten Projektion ist die Tatsache, dass Entfernungen, die vom Mittelpunkt der Karte gemessen werden, wahre Entfernungen sind. Entsprechend definiert ein Kreis um den Mittelpunkt der Projektion Punkte, die alle gleich weit von diesem Punkt entfernt sind. Die gilt jedoch nur für den tentralen Punkt, für den die Karte hergestellt ist. Die Projektion als polare Ansicht ist mindestens einige hundert Jahre bekannt. Diese Projektion ist nützlich zur globalen Entfernungsabschätzung von einem gegebenen auf der Karte zentralen Punkt aus.

Die polare stereografische Projektion ist eine gleichförmige azimutale Projektion die bis zu den Griechen zurückdatiert. Diese Projektion wird vor allem zur Kartographie der Polregionen verwendet. In der polaren Ausführung sind alle Meridiane gerade Linien und Breitenkreise sind Kreise oder Kreissegmente.

Die Lambert azimutale Projektion wurde 1772 von Lambert entwickelt und wird üblicherweise zur Projektion von großen Regionen wie Kontinenten und Hemisphären verwendet. Sie ist eine azimutale, flächentreue Projektion aber sie ist nicht perspektivisch. Die Verzerrung ist Null im Mittelpunkt der Projektion und nimmt radial von diesem Punkt nach außen zu. Diese Projektion ist nicht mit der Lambert conformal Projektion zu verwechseln, die sehr häufig anzuteffen ist und eine Kegelprojektion ist. Die ähnlich aussehende orthografische planare Projektion ist zum Vergleich nicht flächentreu, Flächen zu den Rändern hin werden dort stark verzerrt wiedergegeben.

 

Zylindrische Projektionen

Alle zylindrischen Projektionen kommen dadurch zustande, dass eine Kugelfläche auf einen Zylinder projiziert wird. Bei der tangentiale Zylinderprojektion berührt der Zylinder die Kugel an einem Grosskreis (z.B. Äquator). Die Projektion entsteht dadurch, dass eine Lichtquelle im Zentrum der Erdkugel die Kontinente auf der Zylinderoberfläche abbildet. Diese Projektion wird häufig (leider fälschlich) als Mercatorprojektion bezeichnet. Zwar ist die Mercatorprojektion eine zylindrische Projektion, unterscheidet sich jedoch dadurch etwas von der rechts im Bild dargestellten Projektion, dass sie in Zylinderrichtung verzerrt ist. Man muss bei der Mercatorprojektion dafür sorgen, dass der Masstab in Nord-Süd-Richtung an jedem Punkt der gleiche ist wie in Ost-West-Richtung. Der Maßstab ändert sich bei der Mercator-Projektion also zwar vom Äquator her nach oben und unten kontinuierlich, ist aber für jeden Punkt in Horizontal- und Vertikalrichtung gleich. Dadurch ist die Mercatorprojektion keine physikalisch nachvollziehbare Projektion mehr sondern nur mathematisch zu erzeugen. Von Edward Wright, der die Mercatorprojektion 30 Jahre nach Mercator (1599) nochmals veröffentlicht hat, gibt es wohl folgende Erklärung, wie man sich die Projektion verzustellen hat: Man stellt sich die Erde als Luftballon vor und steckt diesen Luftballon in einen Glaszylinder, so dass der Äquator genau die Wand berührt. Jetzt pumpt man den Ballon auf. Die Bereiche weiter zu den Polen müssen stärker aufgepumpt werden, um die Zylinderwand zu berühren und somit verändert sich dort der Maßstab kontinuierlich und in beide Richtungen.

Wie die Mercator-Karte konstruiert wird, verdeutlicht nachfolgende Grafik. Zur Verdeutlichung werden auf einer Kugel zwei Kreise eingezeichnet. Der erste Kreis bei 0°, also am Äquator, der zweite Kreis bei 60°. Wickelt man nun die Kugeloberfläche ab, so entstehen Zweiecke, die sich am Äquator berühren und nach oben hin immer weiter auseinanderlaufen. Skaliert man nun die Flächen so, dass keine Lücken mehr vorhanden sind, was für eine Karte durchaus nützlich ist, sieht man, dass der obere Kreis verzerrt wurde. Durch die Dehnung in x-Richtung wurde daraus eine Ellipse. Im letzten Schritt wird die Karte nun so gedehnt, dass alle Kreise wieder Kreise sind. Damit nehmen die Abstände zwischen den Breitengraden nach Norden und Süden hin zu. Diese starke Verzerrung führt auch dazu, dass Mercatorkarten nur bis 60° oder 70° Nord oder Süd reichen, die Pole können so nicht dargestellt werden.

Entstehung der Mercatorkarte
Entstehung der Mercatorkarte

Gerhard Kremer (1512-1594), genannt Mercator stellte die nach Ihm benannte Projektion 1569 das erste mal in Duisburg vor. Der große Vorteil der Mercatorprojektion ist, dass sie richtungsgetreu oder winkeltreu ist, Loxodrome (Kursgleichen; Linien mit konstanter Richtung) werden immer als Geraden wiedergegeben. Grosskreise hingegen werden (mit Ausnahme des Äquators) als gekrümmte Linien wiedergegeben. Ein entscheidender Nachteil der Mercatorprojektion ist die extrem starke Grossenverzerrung zu den Polen hin, wie am Beispiel Afrika und Grönland oben deutlich gemacht wurde.

Ähnlich der Mercatorprojektion ist die äquidistante zylindrische Projektion. Hier wird die Projektion mathematisch so korrigiert, dass die Abstände der Breitengrade gleich sind. Diese Projektion ist daher auch unter dem Namen "Plate Carée" bekannt. Die Projektion ist beispielsweise and der Wand der NASA Mission Control (Apollo Missionen) zu sehen. In dieser Projektion werden die Gebiete Nahe der Pole nur in Ost-West-Richtung gedehnt und sind damit weniger verzerrt als bei der Mercator-Projektion.

Alle Meridiane (Längengrade) und Breitengrade sind gerade Linien.
Eine weitere Variante der Zylinderprojektionen ist, dass der Zylinder die Kugel nicht in einem Grosskreis sondern in zwei Kleinkreisen schneidet, der Radius des Zylinders also kleiner ist, als der der Kugel.

Für eine Zylinderprojektion muss der Zylinder die Kugel nicht am Äquator berühren. Es sind auch schiefwinklige Projektionen möglich. Wird der Zylinder gegenüber der Kugel im 90° gedreht, so gelangt man zu transversalen Zylinderprojektionen. Im Bild rechts die transversale Mercatorprojektion. Diese Projektionsart wird auch Gauss-Krüger-Projektion genannt. Viele bekannte Koordinatensysteme für Karten (Grids) verwenden diese Projektion. So das UTM-System, Gauß-Krüger (German Grid), British Grid, Irish Grid, Finnish Grid, Swedish Grid und Taiwan Grid. Für die Verwendung dieser Projektion auf Karten wird nicht von einer Lichtquelle in der Kugelmitte ausgehend alles projiziert sondern ein jeweils nur wenige Grade breite schmale Streifen. Die Meridiane, an denen sich Kugel und Zylinder berühren, nennt man Bezugsmeridiane. Jede der Streifen besitzt einen Bezugsmeridian, an dem die Projektion verzerrungsfrei ist. Dadurch, dass die Streifen nur sehr schmal sind, lassen sich die Verzerrungen minimieren. Mehr zur transversalen Zylinderprojektion beim Thema "Grids".

 

Kegelprojektion

Bei Kegelprojektionen wird die Kugeloberfläche auf einen geeigneten Kegel projiziert. Auch hier kann der Kegel die Kugel in einem Kreis berühren oder in zwei Kreisen schneiden. Die Berührungs- oder Schnittkreise sind immer Kleinkreise. Die Form des Kegels und der Berührungskreis entscheiden über das Aussehen der Projektion. Wie bei den meisten Projektionen ist die Verzerrung umso größer, je größer das abgebildete Gebiet ist. Wie bereits oben erwähnt ist die Lambert conformal Projektion eine der bekanntesten Kegelprojektionen. Dabei handelt es sich um eine Kegelprojektion mit zwei Schnittkreisen zwischen Kugel und Kegel. Diese verzerrungsfrei wiedergegebenen Breitengrade werden dann als Standardparallelen bezeichnet.

Wer noch ein wenig mit verschiedenen Projektionen "spielen" will, sei auf das Java-Applet hier verwiesen (englische Seite).