Geodäsie & Karten
2005-06-10

Grids

"Grids" oder Kartennetze stellen eigentlich nichts anderes dar, als eine andere Schreibweise für Längen- und Breitengrad einer Position auf der Erde. Man mag sich fragen, warum man dann nicht gleich bei Längen- und Breitengraden bleibt.
Der Grund ist, dass die metrischen Grids einige Vorteile gegenüber dem Gradsystem haben. Dies hängt zum Teil mit den Kartenprojektionen zusammen, mit denen die Koordinatensysteme verwendet werden. Der Hauptgrund ist, dass ein Längengrad auf der Erde am Äquator (111 km) eine wesentlich größere Strecke in Kilometern ist, als in Polnähe (z.B. am 48sten Breitengrad 74 km). Für eine Karte ist es günstig, wenn der Massstab auf der ganzen Karte der gleiche ist. Dann ist aber der Abstand der Längengrade auf der Karte nicht überall gleich. Eine einfache Mercatorprojektion erfüllt diese Bedingung für große Gebiete, wie wir am Beispiel Grönland - Afrika im Kapitel Kartenprojektionen sehen, nicht. Hier sind nach der Projektion die Abstände der Längengrade konstant.
Nun ist das Ausmessen oder Eintragen einer Position auf der Karte wesentlich einfacher, wenn den Koordinaten auf der Karte ein rechtwinkliges Gitter mit gleichen Abständen zugrunde liegt. Auch Entfernungen lassen sich so vernünftig ausmessen. Wie gesagt kann keine der einfachen Kartenprojektionen für große Gebiete dies leisten.
Zunächst ein Beispiel für ein kleines Gebiet.

 

Swissgrid

Für kleinere Länder ist eine einfache Projektion ausreichend. Als kleines Land gilt hier beispielsweise die Schweiz. Das schweizer Koordinatensystem Swissgrid ergibt sich folgendermassen. Zunächst geht man von einem Bessel-Ellipsoiden zur Beschreibung der Erde aus (siehe Kartendatum). Über eine (winkeltreue) schiefachsige Zylinder (Mercator) Projektion erhält man die Kartenabbildung. Die Achse des abbildenden Zylinders liegt dabei in der Meridianebene des Fundamentalpunkts, für den die Position der alten Sternwarte in der Hauptstadt Bern gewählt wurde. Im Fundamentalpunkt ist die Abbildung längentreu (Skalenfaktor=1). Die Meridianebende des Fundamentalpunkts ist die Ebene die durch den Erdmittelpunkt und den Längengrad von Bern beschrieben wird. Sieht man sich typische Koordiaten des Schweizer Koordinatensystems (z.B. 616274  271397) an, so fällt folgendes auf.

Die x-Koordinaten sind in der ganzen Schweiz immer deutlich größer als die y-Koordinaten und es gibt keine negativen Werte. Dies dient dazu, Verwechslungen zwischen positiven und negativen und auch zwischen den x und den y Koordinaten zu vermeiden. Als 0,0-Punkt wurde ein Punkt gewählt, der weit ausserhalb der Schweiz (in der Nähe von Bordeaux, Frankreich) liegt. Die alte Sternwarte in Bern hat exakt die Koordianten 600000  200000. Die Koordinaten geben also die Entfernung in Metern vom "Ursprung" an. Durch die rechtwinklige Anordnung der Koordinaten und die gleichen Abstände lassen sich leicht Koordinaten aus Karten ausmessen und in Positionen in Karten eintragen. Um sich dies zu erleichtern kann man sich leicht jeweils für Karten eines Massstabes Schablonen zum Eintragen oder Auslesen von Koordinaten machen. Hier gibt es Beispiele dafür (englisch).

 

Gauss-Krüger oder German Grid

Für größere Gebiete wird die Verzerrung durch die einfache transversale Mercator-Projektion zu gross. Daher behilft man sich, indem man nicht das gesamte Gebiet auf einmal projiziert, sondern immer nur kleinere Bereiche. So basieren die amtlichen deutschen topographischen Karten darauf, dass zunächst wieder vom Bessel Ellipsoid ausgegangen wird. Anschliessend werden für die Fläche der Bundesrepublik über transversale Mercatorprojektionen (siehe Kartenprojektionen) jeweils etwa 3 ° breite Streifen um die Meridiane 6°, 9°, 12° und 15° projiziert. Die Streifen sind also etwa 200 km breit. Dadurch, dass mehrere Streifen projiziert werden, wird die Verzerrung, die mit wachsendem Abstand zum Mittelmeridian der Projektion zunimmt, minimiert. Auf der Abbildung links ist einer der projizierten Streifen zu sehen (schwarz), rechts wie die Streifen angeordnet werden. Wie man sieht, lassen sich die Streifen nicht nahtlos über große Flächen aneinander fügen. Diese Erfahrung macht man auch, wenn man versucht, mehrere Karten in der Gauss-Krüger Projektion aneinander zu kleben. Im Prinzip kann man sich aber mit den Karten wieder fast eine Kugel bauen.
Die Koordinaten selbst sind metrisch, geben also Meter oder Kilometer an. Dabei hat der Mittelmeridian einen Rechtswert (Ost-West-Richtung) von 500000 m (dieses vorgehen ist auch bekannt als "false-easting"). Es dient wieder dazu, negative Werte zu vermeiden. Als Hochwert wird der Abstand in Metern vom Äquator mit 0 m gerechnet. Zur Erklärung der Koordinaten ein Beispiel: 4 392006 5328980.
Die erste Zahl gibt den Mittelmeridian an, wobei die Zahl mit 3 zu multiplizieren ist, um den tatsächlichen Längengrad zu erhalten. In diesem Fall ist das also 12 ° (östliche Länge). Der 12. Längengrad (östlich) hätte die Gauss-Krüger-Koordinaten 4 500000. Der oben angegebene Punkt befindet sich mit einem Rechtswert von 392006 m also 107,994 km westlich (links) vom 12 ° Längengrad. Der Hochwert gibt an, dass der Punkt sich 5328,980 Kilometer vom Äquator aus nördlich befindet. Das entspricht bei einem Erdumfang von 40000 Kilometern oder 10000 Kilometern zwischen Äquator und Nordpol also etwa knapp unter dem 48sten Breitengrad (90 ° / 10 000 km * 5329 km = 47,9 °). Da in ganz Deutschland die Rechtswerte 6-stellig und die Hochwerte 7-stellig sind, ist eine Verwechslung ausgeschlossen. Ein Online-Lexikon zum Thema Geoinformatik und speziell der Gauss-Krüger-Projektion gibt es hier von der Universität Rostock.

 

UTM-Grid

Das UTM-Grid ist prinzipiell sehr ähnlich aufgebaut, wie das Gauss-Krüger-Grid. Da es für nahezu die ganze Welt (mit Ausnahme der Polregionen) gedacht ist, ist es ebenfalls in Zonen unterteilt. Die Zentralmeridiane für die Projektion haben einen Abstand von 6 °. Dadurch erhält man 60 Streifen (Zonen) die jeweils von 84 ° Nord bis 80 ° Süd reichen. Die Polregionen werden demnach vom UTM-System nicht abgedeckt. Wie beim German-Grid wird auf das Zonensystem ein rechtwinkliges Koordinatensystem gelegt.
Als Ursprung für jede Zone wird wieder der Schnittpunkt des Äquators mit dem jeweiligen Zentralmeridian gewählt. Für Positionen auf der Nordhalbkugel ist der Rechtswert des Zentralmeridian (false easting) 500 000, der Hochwert für den Äquator (false northing) ist 0. Für Positionen der Südhalbkugel besitzt der Äquator den Hochwert 10000000, die Hochwerte auf der Südhalbkugel reichen also von etwa 1 000 000 bis 10 000 000, die der Nordhalbkugel von 0 bis nahezu 10 000 000.
Zusätzlich zu den Koordinaten wird häufig noch die Zone als Zahlen-Buchstaben-Kombination angegeben. Die 60 Zonen sind in Ost-Westrichtung so eingeteilt und nummeriert, dass der Nullmeridian (Greenwich) genau die Grenze zwischen der Zone 30 und 31 ist. Die Zonen von Süd nach Nord sind 8° hoch und werden mit Buchstaben bezeichnet. Angefangen wird mit dem Buchstaben C von 80 ° Süd bis 78 ° Süd. Es gibt kein I und kein O um Verwechslungen mit der 1 oder 0 zu vermeiden.
In Nordeuropa gibt es einige Besonderheiten der Zoneneinteilung. So wurde beispielsweise die Zone 32 V etwas auf Kosten der Zone 31 V verbreitert, um Norwegen nicht unnötig in zwei Zonen zu zerschneiden. Hier findet sich eine Weltkarte mit allen eingezeichneten Zonen. Deutschland befindet sich in den Zonen 31, 32 und 33 (Ost-West) und T und U (Süd-Nord), die Schweiz bis auf ein sehr kleines Gebiet im Westen (3,5 x 9 km) in Zone 32 T.
Die Koordianten des UTM Systems geben Positionen auf bis zu 1 Meter genau an. Ein Beispiel für UTM Koordinaten sieht folgendermassen aus: 32 U 615338 5327433 (WGS84). Der Punkt liegt also in Zone 32 U, also irgendwo zischen 6 ° und 12 ° Ost und zwischen 48 ° und 56 ° Nord. Der x-Wert ist mit 615338 Metern um 115238 Meter größer als der Ursprung dieser Zone (9 ° Ost), also bei etwas mehr als 10 ° Ost. Den Hochwert kennen wir so ähnlich schon vom Beispiel für die Gauss-Krüger-Koordinaten.
Tatsächlich handelt es sich um den selben Punkt. Der Hochwert ist jetzt allerdings um 1547 Meter kleiner. Zunächst scheint dies eigenartig, wo doch beide Systeme den Äquator als Ursprung für die Hochwerte haben. Zwei Dinge sind für diese Abweichung verantwortlich. Um Verzerrungen bei der Projektion minimieren zu können, obwohl 6 ° breite Streifen verwendet werden, wird bei der Projektion der Erde auf den Zylinder ein Zylinder verwendet, der kleiner ist, als der Erdradius (Schnittzylinderprojektion). Dadurch wird der Mittelmeridian verkürzt. Der Verkürzungsfaktor beträgt 0,9996. Die Entfernung eines Punktes auf dem Mittelmeridain vom Äquator wird damit kürzer gemessen, als er wirklich ist. An den Rändern der projizierten Streifen erhöht sich in der Äquatorregion dieser Faktor auf bis zu 1,0010. Entfernungen in UTM-Koordinaten sind also nicht exakt auf Entfernungen im Gauss-Krüger-System zu übertragen.
Ein weiterer Grund für den Unterschied der Koordinaten ist das verwendete Ellipsoid. Bei Gauss-Krüger wird das Bessel-Ellipsoid verwendet, bei den oben angegebenen UTM Koordinaten das WGS84 Ellipsoid.
Während das UTM-System eigentlich sehr einfach und zuverlässig zur Weitergabe von Koordinaten wirkt, birgt es ein grosses Risiko. Ursprünglich wird für UTM Koordinaten für für Europa das Hayford-Ellipsoid (International 1950), für Nordamerika das von Clarke 1866, für Afrika das von Clarke 1880 als Norm verwendet. Der Warschauer Pakt verwendete das Ellipsoid von Krassowskij. Wo die Grenze zwische Europa und Afrika bei grenznahen Koordianten liegt, bzw. nach welchem Ellipsoid Koordinaten auf Landkarten im Zweifelsfall berechnet wurden ist nicht immer leicht zu erraten.
Gesetztes Ziel ist aber weltweit für alle UTM-Koordinaten das WGS84 Ellipsoid zu verwenden.