Astronavigation
2006-04-20

Allgemeine Methode

Die allgemeine Methode ist das, was seit dem 17. Jahrhundert zur Bestimmung der Position mit dem Sextanten etabliert hat. Dies wurde grundsätzlich erst möglich, nachdem es gelang Uhren herzustellen, die auch noch nach Wochen auf See ausreichend genau funktioniert haben.

 

Spezialfall Mittagsmethode

Streng genommen ist die bereits besprochene Mittagsmethode nichts anderes als ein einfacher Spezialfall der allgemeinen Methode zur Positionsbestimmung mit Hilfe der Sonne.

Positionsbestimmung mit der allgmeinen Methode mit Spezialfall am Mitttag
Positionsbestimmung mit der allgmeinen Methode mit Spezialfall am Mitttag

Hat an der eigenen Position (roter Punkt) die Sonne ihren Höchststand erreicht, ist es Mittag (Schiffsmittag) und die Sonne steht exakt im Süden. Die gemessene Höhe der Sonne über dem Horizont beträgt 50°, damit ist der Winkel zwischen Sonne und Zenit 90° -50° = 40°. Wir sind damit 40° weiter nördlich als der Punkt, über dem die Sonne senkrecht steht. Die Sonne selbst steht über einem Breitengrad von 15° N senkrecht, wir befinden uns also auf 40° + 15° = 55° Nord.

Zudem wurde der Sonnenhöchststand um 14:00 Uhr UTC bestimmt, der Ortsstundenwinkel beträgt damit 30° und der Längengrad ebenfalls 30° West.

Andersherum gesehen haben wir folgendes bestimmt:

Um 14:00 Uhr UTC hat die Sonne von unserem Standort aus gesehen einen Azimut von exakt 180°, steht also genau im Süden. Die Sonne befindet sich dann laut Tabelle auf 30° West und 15° Nord. Wir haben einen Winkel von 40° zwischen Sonne und Zenit gemessen, befinden uns also 40° oder, da die Meridiane Grosskreise sind (1' = 1 sm), 2400 nördlich von der aktuellen Position der Sonne. So könnte man auf einer Weltkarte seine Position bestimmen.

 

Allgemeiner Fall

Die Theorie

Wie es zu anderen Tageszeiten aussieht, verdeutlicht nachfolgende Grafik. Zu jeder beliebigen Tageszeit misst man einen bestimmten Winkel zwischen Horizont und Sonne. Der Wert, den man erhält, wenn man diesen Winkel von 90° abzieht, entspricht der Entfernung vom Bildpunkt der Sonne. Da 1° einer Entfernung von 60 Seemeilen entspricht, könnte man nun um den bekannten Bildpunkt der Sonne einen Kreis mit dem entsprechenden Radius zeichnen und der Schnittpunkt mindestens zweier solcher Kreise ergibt die eigene Position. Theoretisch käme man sogar mit einer Messung aus, wenn man zusätzlich noch die exakte Richtung zur Sonne messen könnte. Dann könnte man die entsprechende Entfernung im richtigen Winkel vom Bildpunkt der Sonne aus in die Karte eintragen und hätte seine eigene Position. Das klingt zu einfach um wahr zu sein, ist es auch. Hinter der Methode verbergen sich ein paar Tücken.

 

Das Problem

Erstens sind es Kreise, die man auf der Erdkugel zeichnen müsste, nicht auf einer Karte. Das heisst, es sind keine Kreise mehr, wenn man sie auf eine Karte überträgt. Im unteren Bild sind es zwar Kreise, aber das ist nicht korrekt und dient nur zur Veranschaulichung. Die geometrischen Formen, die entstehen, wenn man auf einer Kugel gezeichnete Kreise auf eine Karte projiziert, sind von Hand nahezu unmöglich zu zeichnen.

Zweitens braucht man eine Karte, auf der sowohl der Bildpunkt der Sonne als auch der eigene Standort eingezeichnet werden kann. Diese Entfernung ist leicht einige tausend Seemeilen und eine derartige Karte lässt keine sehr genaue Positionsbestimmung mehr zu. Jeder Bleistiftstrich ist einige Seemeilen dick.

Würde man mit nur einer Messung und dem gemessenen Winkel die Position bestimmen, würde es noch vertrackter. Man müsste die Entfernung zum Bildpunkt auf einem Grosskreis und nicht auf einer Geraden eintragen und würde vermutlich trotzdem niemals am richtigen Ort herauskommen. Zudem ist es nicht möglich, den Winkel zur Sonne auch nur halbwegs exakt zu bestimmen. Jedes Grad Fehler macht auf diese Entfernung einen riesigen Fehler bei der Bestimmung der eigenen Position aus. Rechnerisch hingegen ist aus zwei gemessenen Sonnenhöhen eine Positionsbestimmung duchaus möglich.

 

Sonnenstand relativ zur Position zu unterschiedlichen Tageszeiten; Entfernungskreise mit Schnittpunkt an eigener Position. (Achtung, die Kreise sind eigentlich keine Kreise!)
Sonnenstand relativ zur Position zu unterschiedlichen Tageszeiten; Entfernungskreise mit Schnittpunkt an eigener Position. (Achtung, die Kreise sind eigentlich keine Kreise!)

 

Die Lösung

Hier ist also guter Rat teuer und deswegen hat es in der Geschichte der Navigation auch ziemlich lange gedauert, bis jemand mit einem Trick dem ganzen Problem auf die Schliche kam bzw. eine Lösung fand.

Der Trick ist, man schätzt seine eigene Position und berechnet, um wieviel man sich verschätzt hat. Dabei ist es nicht schlimm, wenn diese geschätzte Position ziemlich falsch ist, auf einer Schiffreise könnte man z.B. eine vom Vortag bekannte Position verwenden oder einen entsprechenden Koppelort, also eine alte Position korrigiert um die seit dessen Bestimmung zurückgelegte Strecke. Aber der Reihe nach.

 

Betrachtet man sich zunächst die tatsächliche Situation, so wird man in aller Regel auf einer normalen Seekarte arbeiten und die Position zumindest insoweit kennen, dass man sagen kann, man befindet sich innerhalb dieser Seekarte. Wenn man die Position genauer kennt, ist auch gut. Was man auch sieht, ist, dass von zwei geschätzten Positionen auf der Seekarte aus der Winkel zum Bildpunkt der Sonne annähernd gleich ist. In der Grafik liegen die beiden Punkte etwa 300 Seemeilen auseinander, etwas genauer dürfte man seine eigene Position in aller Regel schon kennen. Und trotzdem sind die Winkel sehr ähnlich. Würde man die Winkel für die beiden in der Karte eingezeichneten Positionen berechnen, so erhält man für den roten Punkt einen Azimut, also den Winkel von Norden aus gerechnet zur Sonne, von 106,5°. Für den grünen Punkt sind es 111.1°, also kein wirklich dramatischer Unterschied. Wer aufmerksam ist, merkt vielleicht, dass der Winkel der roten und grünen Linie auf der Zeichnung keine 106,5° oder 111.1° sind, sondern eher so um die 135°. Da ist doch etwas falsch, oder? Es ist etwas falsch, nämlich dass die Linien Geraden sind. Würde man sich auf der Erde auf direktem Weg, also entlang eines Grosskreises (mehr dazu hier), zum Bildpunkt der Sonne bewegen, würde das auf der Karte in etwa der blauen Linie entsprechen und dessen Azimuwinkel ist beim grünen Punkt wesentlich kleiner als der der geraden Linien. Dies jedoch nur nebenbei, denn das spielt im folgenden keine Rolle, da bei den kleinen Entfernungen, die man auf normalen Seekarten einzeichnet, dies als gerade Linie gemacht werden kann.

Zurück zum Beispiel. Wir wissen jetzt, dass die Richtung zum Bildpunkt der Sonne sich in den meisten Fällen (ausser man ist sehr nah am Bildpunkt) nicht sehr stark ändert, wenn man seine Position ein wenig verschätzt hat.

 

Schritt 1 - Position gißen

Wir schätzen also unsere Position auf 54° Nord und 31° West. Es ist sinnvoll, runde Zahlen, nicht aber zwingend ganze Grade zu verwenden, da es die Berechnung vereinfacht. Diese geschätzte Position nennt der Seefahrer auch gegißte Position.

 

Schritt 2 - Sonnenhöhe messen

Jetzt messen wir den Winkel zwischen Sonne und Horizont mit dem Sextanten und notieren gleichzeitig die sekundengenaue Zeit. Der gemessene Winkel sei 29°20,9', die Sonne steht südlich am Himmel. Bei einem Winkel über 25° aber unter 40° müssen wir noch 12' Gesamtbeschickung für die Fehler durch Refraktion, Augenhöhe (2 m) und den Sonnenradius hinzuzählen und erhalten hg = 29° 32,9'.

Es sei der 30.04.2005 und die Messung war zufällig (vielleicht war es auch Absicht) genau um 10:00:00 UTC.

 

Schritt 3 - Deklination der Sonne berechnen

Jetzt berechnen wir, wo für diesen Zeitpunkt der Messung der Bildpunkt der Sonne auf der Erde war. Wir finden (aus den Tabellenwerken oder lassen es uns berechnen) eine Deklination griech. delta der Sonne von 14° 51,9' (N).

 

Schritt 4 - Greenwicher Ortsstundenwinkel der Sonne berechnen

Nun brauchen wir noch den Greewicher Ortsstundenwinkel der Sonne. Dieser muss, da wir uns noch vor dem Greenwicher Mittag befinden (es ist erst 10:00 Uhr UTC), recht gross sein, da die Sonne von Osten kommend Greenwich fast erreicht hat, der Winkel aber von Greewich aus in Richtung Westen gemessen wird. Durch Nachgeschlagen oder Berechnen lassen findet man: Der Greenwicher Ortsstundenwinkel beträgt 330° 41,9'. Jetzt haben wir die Position des Bildpunkts der Sonne.

 

Schritt 5 - lokalen Ortsstundenwinkel berechnen

Wenn wir uns obige Grafik nochmal ansehen, fällt auf, dass wohl weniger der Greenwicher Ortsstundenwinkel der Sonne von Interesse ist, sondern der Unterschied zwischen dem eigenen Ortsstundenwinkel und dem der Sonne. Also berechnen wir den "lokalen Ortsstundenwinkel" LHA.

Dazu zieht man den Ortsstundenwinkel der gegißten Position vom Ortsstundenwinkel der Sonne ab. Beachten muss man dabei die Vorzeichen, wenn man sich östlich von Greewich befindet, da der Ortsstundenwinkel immer einen positiven Wert zwischen 0 und 360° haben muss. Ist man sich nicht ganz sicher, ob man richtig gerechnet hat, hilft das Zeichnen einer Äquatorialschnittfigur. Diese haben wir bereits am Ende der Längengradbestimmung nach der Mittagsmethode gesehen und sie ist im Prinzip das gleiche wie die bereits kennengelernte Meridianschnittfigur. Nur schaut man jetzt nicht von der Seite auf die Erde sondern genau auf den Nordpol. In unserem Beispiel, wir sind auf 31° W, berechnet man für den LHA: 330° 41,9' - 31° 00,0' = 299° 41,9'.

 

Schritt 6 - Höhe der Sonne am gegißten Punkt berechnen

So, jetzt kommen wir um ein wenig Mathematik nicht mehr herum, es muss die Sonnenhöhe für den gegißten Standort berechnet werden. Wir kennen den gemessenen Winkel an unserem wahren Standort und durch Vergleich mit dem berechneten für den geschätzten Standort erfahren wir, ob wir uns näher am Bildpunkt der Sonne befinden als geschätzt, oder weiter entfernt. Befinden wir uns näher, ist der gemessene Winkel zwischen Horizont und Sonne größer als der berechnete und umgekehrt.

Stellen wir nochmal alle Informationen zusammen, die wir jetzt benötigen:

griech. delta (Sonne)  (Delta) ist die Deklination der Sonne (in unserem Beispiel 14° 51,9' = 14,865°)

griech. Phi (gegisst)  (Phi) ist der gegißte Breitengrad (in unserem Beispiel 54°)

LHA  ist der lokale Ortsstundenwinkel (in unserem Beispiel 299° 41,9' = 299,698°)

 

Die Herleitung der Formel sparen wir uns, wer es genau Wissen will, sollte sich eine der zahlreichen Astronomieseiten zu Gemüte führen.

 

Formel zur Berechnung von hc

hc  ist die Sonnenhöhe für den gegißten Standort

 

Setzt man nun die Werte ein, so erhält man:

hc= 29,275° = 29° 16,5'

 

Auf Taschenrechnern findet man anstatt arcsin häufig sin-1. Ebenfalls gilt zu beachten, dass der Rechner auf Grad (Degrees, DEG) eingestellt ist und nicht auf Radian (RAD). Dies gilt es besonders zu beachten, wenn man mit Excel rechnen will, da die trigonometrischen Funktionen dort nach Winkel in RAD verlangen.

 

Schritt 7 -Abstand zum gegißten Punkt berechnen

Vergleichen wir die soeben für den gegißten Ort berechnete Sonnenhöhe 29° 16,5' mit der an unserer tatsächlichen Position gemessenen Sonnenhöhe von 29° 32,9', so finden wir, dass die Sonne 16,4' höher am Himmel steht, als erwartet. Das bedeutet andererseits, dass wir uns 16,4' oder 16,4 Seemeilen näher am Bildpunkt der Sonne befinden als der gegißte Standort. Jetzt müssen wir nur noch herausfinden, in welcher Richtung es zum Bildpunkt der Sonne geht.

 

Schritt 8 - Azimut des Bildpunkts berechnen

Wieder müssen wir die Mathematik strapazieren und den Azimut, also die Richtung zum Bildpunkt der Sonne berechnen. Dies geschieht mit Hilfe der folgenden Formel.

 

Formel zur Berechnung von Z

griech. delta (Sonne)  (Delta) ist die Deklination der Sonne (in unserem Beispiel 14° 51,9' = 14,865°)

griech. Phi (gegisst)  (Phi) ist der gegißte Breitengrad (in unserem Beispiel 54°)

hc  ist die berechnete Sonnenhöhe am gegißten Standort (in unserem Beispiel 29° 16,5' = 29,275°)

 

Setzt man die Werte wieder ein, so erhält man einen Azimut:

Z = 105,7°

 

Es gilt bei diesem Wert noch eines zu beachten, wenn nach dem Sonnenhöchststand gemessen wird, entspricht der Winkel dem Winkel von Norden aus gerechnet entgegen dem Uhrzeigersinn. Um den "Kurs" zur Sonne zu erhalten muss man dann den Winkel von 360° abziehen.

 

Schritt 9- Eintragen in Seekarte

So, nun können wir die erhaltenen Informationen in unsere Seekarte eintragen. Wir zeichnen also ausgehend vom gegißten Standort Og den Winkel zum Bildpunkt der Sonne ein (roter Sektor). Jetzt zeichnen wir eine Linie der Länge 16,4 sm in Richtung Bildpunkt. Das war die Entfernung, um die wir uns näher am Bildpunkt befunden haben, als der gegißte Standort. Und senkrecht zu dieser Linie zeichnen wir nun unsere erste Standlinie.

Diese Standlinie entspricht einem kleinen Ausschnitt aus einem Kreis um den Bildpunkt der Sonne mit einem Radius, der um 16,4 sm kleiner ist, als der des Kreises, der genau durch unseren gegißten Punkt geht. Sehr stark übertrieben gezeichnet entspricht das dem, was in nebenstehender Zeichnung wiedergegeben wird. Auf einer typischen Seekarte und mit halbwegs sinnvoll (nicht gerade mehrere Grade daneben) gegißtem Standort darf diese Linie als Linie eingezeichnet werden, nicht als Kurve, da der Fehler vernachlässigbar ist.

 

Schritt 10 - Wiederholen

So, nun müssen wir das ganze entweder mit einem zweiten Gestirn, das sich möglichst im 90° Winkel zur Sonne am Himmel befindet oder einige Zeit warten und eine zweite (eventuell noch eine dritte) Bestimmung mit der Sonne durchführen, wenn sich diese am Himmel ein gutes Stück weiter bewegt hat.

Wir wiederholen in unserem Beispiel die Bestimmung nochmals um 15:00:00 Uhr UTC un erhalten nach entsprechender Rechnung folgende Werte:

hg = 48° 07,0'

hc  = 49° 16,0'

Der gemessene Winkel zwischen Horizont und Sonne ist kleiner als der errechnete, das bedeutet, wir befinden uns jetzt weiter vom Bildpunkt entfernt, als der gegißte Standort. Die Differenz der beiden Winkel ist 1° 09' oder 69', also 69 Seemeilen.

Z = 157,9°

Hier gilt es jetzt, wie vorhin erwähnt, aufzupassen. Es ist Nachmittag, die Sonne ist "an uns vorbei", deswegen ist der errechnete Azimut von Norden über Westen gezählt anstatt über Osten. Um den richtigen Kurswinkel zu erhalten, den wir in die Karte eintragen müssen wir rechnen: 360° - 157,9° = 202,1°

 

Jetzt können wir die zusätzliche 2. Standlinie in die Karte einzeichnen. Der Winkel beträgt 202,1°, die 69 sm werden vom Bildpunkt der Sonne weg, also nach oben eingetragen. Wieder liegt die Standlinie senkrecht darauf und der Schnittpunkt der beiden Standlinien ergibt der tatsächlichen Standort. Dieser ist in unserem Beispiel recht genau 55° N und 30° W.

 

Versegeln der Standlinie

Die oben durchgeführte Positionsbestimmung ist recht und schön, meist wird man jedoch nicht den ganzen Tag am gleichen Ort warten um seine Position zu bestimmen und zumindest tagsüber findet man ausser der Sonne in den seltensten Fällen (Mond) ein zweites Gestirn zur Messung.

Durch eine Änderung des Standorts zwischen zwei Messungen schleicht sich natürlich ein Fehler ein, den man aber annäherungsweise ganz gut ausgeleichen kann. So wie man durch Koppeln von einer bekannten Position eine neue Position (den Koppelort) bestimmen kann, in dem man die Geschwindigkeit mit der Zeit multipliziert und die resultierende zurückgelegte Strecke in der Richtung, in die man sich bewegt hat auf der Karte einzeichnet, kann man auch die erste Standlinie entsprechen verschieben und dann erst den Schnittpunkt mit der zweiten Linie suchen. Diese Verschiebung der Standlinie nennt man "Versegeln" der Standlinie.

Angenommen wir hätten uns zwischen der ersten und der zweiten Messung um 30 Seemeilen nach Süden bewegt. Natürlich ändern sich, da wir uns an einer anderen Position befinden für die zweite Messung die Werte, so dass die 2. Standlinie eine andere ist. Der Schnittpunkt der versegelten und der 2. aktuell gemessenen Standlinie gibt dann jedoch wieder die tatsächliche Position zum Zeitpunkt der zweiten Messung an. Wie bei allen Koppelorten leidet die Genauigkeit natürlich, da das Koppeln selbst nicht sehr genau ist und Abdrift und andere Einflüsse nur schwer einzuberechnen sind.