GPS-System
2007-11-29

Positionsbestimmung

Stark vereinfacht gesagt sendet jeder Satellit eine Nachricht der Art: "Ich bin Satellit Nr. X, meine Position ist gerade Y und diese Nachricht wurde zum Zeitpunkt Z versandt". Dies ist, wie gesagt, stark vereinfacht, aber es kommt der Wahrheit schon recht nah. Zusätzlich sendet der Satellit noch Informationen über seine Umlaufbahn (und die der anderen Satelliten). Diese Bahndaten (Ephemeriden- und Almanachdaten) werden vom GPS-Empfänger gespeichert und für spätere Rechnungen verwendet.

Um nun die Position zu bestimmen, vergleicht der GPS-Empfänger die Zeit, zu der das Signal ausgesamdt wurde mit der Zeit, zu der das Signal empfangen wurde. Aus dieser Zeitdifferenz kann die Entfernung des Satelliten berechnet werden. Werden nun von weiteren Satelliten Messungen hinzugefügt, so kann die aktuelle Position durch Trilateration (Entfernungsmessung von drei Punkten aus) bestimmt werden werden. Mit wenigstens drei Satelliten kann der GPS Empfänger seine Position auf der Erdoberfläche bestimmen. Dies wird "2D position fix" (zweidimensionale Positionsbestimmung) genannt. Zweidimensional deshalb, weil der Empfänger davon ausgehen muss, sich direkt auf der Erdoberfläche (also einer rechnerisch zweidimensionalen Fläche) zu befinden. Mit Hilfe von vier oder mehr Satelliten kann ein "3D position fix", also die absolute Position im Raum oder eben zusätzlich die Höhe über der Erdoberfläche bestimmt werden.

Durch ständige Neuberechnung der aktuellen Position kann der GPS Empfänger auch genau die Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung (als "ground speed" und "ground track" bezeichnet) berechnen. Eine andere Möglichkeit der Geschwindigkeitsmessung ist das Ausnutzen des Dopplereffekts, der durch die Bewegung bei den übermittelten Signalen auftritt. Das funktioniert nach dem gleichen Prinzip, wie ein Beobachter ein Martinshorn als höheren Ton wahrnimmt, wenn es sich auf ihn zu bewegt und als tieferen Ton, wenn es sich von ihm weg bewegt.

Vereinfacht liegt also der Positionsbestimmung mit Hilfe von GPS das gleiche Prinzip zugrunde, das man bereits als Kind genutzt hat, um die Entfernung eines Gewitters abzuschätzen. Hierbei wird einfach gezählt, welche Zeitdifferenz zwischen dem Einschlag des Blitzes (im Vergleich zur Schall- ist die Lichtgeschwindigkeit so hoch, dass man die Laufzeit des Lichts vom Einschlagpunkt zum Beobachter nicht berücksichtigen muss) und dem Eintreffen des Donners vergangen ist. Da Schall sich in Luft mit etwa 340 m/s ausbreitet ergibt sich so aus z.B. 3 Sekunden zwischen Blitz und Donner eine Entfernung von etwa 1 Kilometer.

Dabei machen wir allerdings noch keine Positionsbestimmung, sondern nur eine Entfernungsbestimmung. Mit mehreren Entfernungsbestimmungen lässt sich jedoch eine Positionsbestimmung durchführen. Um beim Beispiel mit dem Blitz zu bleiben würde das bedeuten, dass wenn mehrere Leute an unterschiedlichen Positionen, die natürlich bekannt sind, stehen und die Zeit zwischen Blitzeinschlag und Donner messen, die Position des Blitzeinschlags bestimmen könnten.

Im Folgenden nun eine Erkärung, wie die Positionsbestimmung beim GPS-System vonstatten geht. Zur Vereinfachung soll zunächst von einer zweidimensionalen Welt ausgegangen werden, da hier die Übersichtlichkeit um "Dimensionen" besser ist und sich das ganze auch vernünftig aufzeichnen lässt. Später kann das gesehene dann leicht in die wahre dreidimensionale Welt übertragen werden.

In unserem Beispiel haben wir die Zeit, die ein Signal vom ersten der beiden Satelliten bis zu unserem Standpunkt benötigt mit 4 Sekunden bestimmt. (Dieser Wert ist natürlich unrealistisch hoch, aber das macht jetzt nichts. Tatsächlich ist die Laufzeit der Signale vom Satelliten zur Erdoberfläche bei einer Lichtgeschwindigkeit von 299 792 458,0 m/s etwa 0,07 Sekunden, aber das ändert ja nichts am Prinzip.) Wenn wir nur diese Information haben, können wir immerhin schon sagen, dass unsere Position irgendwo auf einem Kreis mit der "Entfernung" 4 Sekunden um den ersten Satelliten sein muss.

Wenn wir das ganze jetzt noch mit der Laufzeit eines zweiten Signals machen, bleiben zwei Schnittpunkte der Kreise als mögliche Positionen (Punkte A und B). Moment mal, brauchen wir nun nicht noch einen dritten Satelliten, schliesslich heisst es ja auch "Trilateration" und nicht "Dilateration"?

Nein, denn wir wissen ja bereits, dass wir uns wenigstens irgendwo in der Nähe der Erde befinden müssen (Punkt A) und nicht irgendwo weit draussen im Weltraum (Punkt B). Genau genommen haben wir damit unseren dritten "Satelliten" bzw. dritten Kreis, der mit den beiden anderen überlappen muss. Der im Bild grau hinterlegte Bereich ist der Bereich innerhalb dem das GPS-System in unserem Beispiel genutzt werden kann. Dieser Bereich ist jedoch sehr gross, da die Satelliten weit weg sind von der Erdoberfläche, so dass sich auch hoch fliegende Flugzeuge innerhalb dieses Bereichs befinden. Damit bleibt also nur ein einziger Punkt übrig, an dem wir uns befinden können und unsere Position ist genau bestimmt. Fertig!

Und für drei Dimensionen brauchen wir jetzt lediglich noch einen dritten Satelliten?

Im Prinzip ja, jedoch gibt es wie immer ein "Aber". Das Problem ist, die tatsächliche und exakte Laufzeit der Signale zu kennen. Die Satelliten übermitteln wie gesagt mit jeder Nachricht eine Art Zeitstempel, wann die Nachricht abgesandt wurde. Ausserdem wissen wir, dass die Uhren aller Satelliten absolut genau und synchron gehen, schliesslich sind Atomuhren an Bord. Das Problem ist jedoch die Uhr unseres GPS Empfängers. Kein GPS-Empfänger hat eine eingebaute Atomuhr, was ihn ungeheuer teuer machen würde. Unsere GPS-Empfänger haben "nur" Quarzuhren und die gehen im Vergleich zu Atomuhren wirklich nicht sehr genau. Aber wie wirkt sich das nun in der Praxis aus?

Bleiben wir bei unserem Beispiel und nehmen an, die Uhr in unserem GPS Empfänger geht gegenüber den Uhren der Satelliten eine halbe Sekunden vor. Damit erscheint uns die Laufzeit der Signale von den Satelliten um 0,5 Sekunden länger. Das wiederum führt dann dazu, dass wir glauben am Punkt B anstatt am Punkt A zu sein. Die Kreise die sich in Punkt B schneiden werden im GPS-Wortschatz auch Pseudoranges (Pseudoentfernungen) genannt. Diese werden so lange mit "Pseudo" bezeichnet, bis die Korrektur der Synchronisationsfehler (Bias) der Uhren durchgeführt wurde. Je nachdem, wie genau die Uhr funktioniert, wird die ermittelte Position "mehr oder weniger falsch" sein. Für die Praxis der Navigation mit GPS würde das bedeuten, dass bei den ungeheuer kleinen Signallaufzeiten die ermittelte Position immer eher mehr (als eher weniger) falsch ist und damit völlig unbrauchbar wäre. Ein Uhrenfehler von 1/100 Sekunde, was die Vorstellungskraft bereits strapaziert, einem jedoch von Auto- und Skirennen heute dennoch durchaus geläufig ist, macht in der GPS-Navigation eine Fehlbestimmung der Position um ca. 3000 km aus. Um eine Positionsbestimmung auf 10 m genau zu erreichen muss die Laufzeit bis auf 0,00000003 Sekunden genau sein. Da keine Atomuhren in GPS-Empfängern zu finden sind, lässt sich das Problem anders auf elegante Weise lösen.

Zieht man nämlich noch einen dritten Satelliten hinzu und betrachtet zunächst wieder den Fall, dass die Uhr des Empfängers absolut genau geht, so erhält man wieder eine eindeutige bestimmte Position (Punkt A).

Betrachtet man den gleichen Fall aber unter der Voraussetzung, dass die Empfänger-Uhr eine halbe Sekunde vorgeht, so erhält man keinen eindeutigen Schnittpunkt mehr, sondern drei Schnittpunkte B aus je zwei Kreisen. Der Uhrenfehler fällt also sofort auf. Verschiebt man nun die Zeit der Empfängeruhr solange, bis aus den drei Schnittpunkten B ein Schnittpunkt A wird, so hat man den Uhrenfehler korrigiert und die Empfängeruhr läuft absolut snychron zu den Atomuhren der GPS-Satelliten. Der GPS-Empfänger wird zur "Atomuhr". Die Entfernungen zu den Satelliten, die als "Pseudoranges" bezeichnet wurden, werden jetzt echte Entfernungsangaben und es wird auch klar, warum sie vorher nur als Pseudoentfernungen bezeichnet wurden.

In unserem Beispiel in der 2-dimensionalen Welt sind also die Signale von drei Satelliten nötig, um eine eindeutige Positionsbestimmung durchzuführen. In der Realität, die eine Dimension mehr hat, braucht man für eine 3D-Positionierung wie bereits erwähnt demnach vier Satelliten.

Warum hört man dann so oft, dass drei Satelliten ausreichen?
Man kann in der Praxis auch mit drei Satelliten eine Ortsbestimmung erhalten, aber nur eine zweidimensionale (2D-fix). Zweidimensional bedeutet, dass sich die zu bestimmende Position auf der Erdoberfläche befinden muss. Der für die Berechnung notwendige vierte Satellit wäre der Erdmittelpunkt und die zu diesem Satelliten bestimmte Entfernung wäre die Entfernung der Erdoberfläche vom Erdmittelpunkt (6360 km). Somit hat man wieder vier gemessene Pseudoentfernungen aus denen die tatsächliche Position bestimmt wird. Aber eben mit der Einschränkung, dass der Empfänger immer davon ausgeht, dass man sich direkt auf der Erdoberfläche befindet. Erdoberfläche meint in diesem Fall das Erdgeoid, also Meereshöhe. Ist das nicht der Fall (ist man z.B. auf einem Berg), kommt es zu Fehlern bei der Bestimmung, da die Laufzeiten von den Satellitensignalen nicht stimmen.