GPS-Anwendungen
2008-02-13

Fehlerquellen bei GPS

Selective Availability

Der größte Faktor bei der Positionsgenauigkeit des GPS besteht seit 2. Mai 2000 5:05 Uhr (MEZ) bis auf weiteres nicht mehr. An diesem Tag wurde die sogenannte "selective availability" (SA) abgeschaltet. Hierbei handelt es sich zum einen um eine künstliche Verfälschung der vom Satelliten übermittelten Uhrzeit im L1 Signal, was bei zivilen GPS Empfängern dazu führt, eine ungenauere Positionsbestimmung zu erzielen. Dies führt zu Schwankungen um ca. 50 m während wenigen Minuten. Zusätzlich werden die Ephemeridendaten ungenauer übertragen, d.h. die übermittelte Satellitenposition stimmt nicht mit der tatsächlichen überein. Hierdurch kann eine Ungenauigkeit der Position um 50 bis 150 m mit Periodendauern von mehreren Stunden erreicht werden. Während bei eingeschalteter SA die Positionsgenauigkeit im Bereich von 100 Metern lag, wird jetzt eine Genauigkeit von 20 Meter erreicht, die in der Praxis häufig jedoch sogar noch unterschritten wird. Vor allem die Höhenbestimmug hat stark von der Abschaltung der SA profitiert. Vorher war eine Höhenbestimmung über GPS praktisch unbrauchbar.

Als Grund für SA wurden Sicherheitsbedenken angegeben. So sollte es beispielsweise Terroristen unmöglich gemacht werden, kritische Einrichtungen in den USA mit selbst gebauten Fernlenkwaffen genau treffen. Paradoxerweise war genau diese SA bereits während des ersten Golfkriegs (1990) teilweise deaktiviert, da für die vielen dort befindlichen amerikanischen Truppen nicht genügend militärische Empfänger zur Verfügung standen und auf zivile Empfänger ausgewichen werden musste, wovon 10000 Stück eingekauft wurden (Es handelte sich übrigens um Geräte der Firmen Trimble und Magellan). Dies ermöglichte den Truppen sehr präzise Operationen in einer orientierungspunktlosen Wüste. Wie gesagt wurde dieses SA jedoch mittlerweile aufgrund der großen Verbreitung von GPS Empfängern und des damit verbundenen weltweiten Nutzens deaktiviert.

Nachfolgend noch zwei Diagramme, die die Verbesserung der Positionsbestimmung durch die Abschaltung der SA verdeutlichen. Die Kantenlänge der Diagramme beträgt jeweils 200 Meter, die Daten wurden am 1. Mai 2000 bzw. am 3. Mai 2000 jeweils über 24 Stunden aufgenommen. Während mit SA 95 % der Messwerte innerhalb eines 45 m Radius liegen, sind ohne SA 95 % der Werte innerhalb eines 6,3 m Radius.

Streuung der Positionsbestimmung mit ein- und ausgeschalteter "Selective Availability"
(Diagramme entnommen von http://www.igeb.gov/sa/diagram.shtml (Seite nicht mehr verfügbar)
Mit freundlicher Genehmigung von Dr. Milbert (NOAA))
Streuung der Position mit SA Streuung der Position ohne SA

Satellitengeometrie

Ein weiterer Faktor, der die Genauigkeit der Positionsbestimmung beeinflusst ist die "Satellitengeometrie". Einfach gesagt bezieht sich "Satellitengeometrie" auf die vom Empfänger aus gesehene Stellung der gerade empfangenen Satelliten zueinander im Raum.

Wenn ein Empfänger beispielsweise gerade vier Satelliten empfängt und alle vier Satelliten sind beispielsweise nur im Nordwesten, so ergibt sich daraus eine "schlechte Geometrie". Unter Umständen kommt überhaupt keine Positionsbestimmung zustande denn wenn alle Entfernungsmessungen aus der gleichen Richtung erfolgen, kann keine Position bestimmt werden. Selbst wenn der Empfänger eine Positionsbestimmung durchführen kann, so kann der Fehler ohne weiteres im Bereich von 100 bis 150 Metern liegen.

Sind hingegen die vier empfangenen Satelliten möglichst gut über den gesamten Himmel verteilt, so wird die Positionsbestimmung wesentlich genauer. Angenommen die Satelliten befinden sich im Norden, Osten, Süden und Westen, sind also in 90° Abständen angeordnet, so ist die "Satellitengeometrie" sehr gut, da die Entfernungsmessungen in allen Richtungen gemacht werden. Dies kann mit den folgenden Zeichnungen für den zweidimensionalen Fall wieder recht deutlich gemacht werden. Wir beschränken uns auf zwei Satelliten, lassen also Uhrzeitungenauigkeiten aus dem Spiel.

Angenommen die Satelliten befinden sich in einer "günstigen" Anordnung. Vom Betrachter aus bilden die Sichtlinine zu den Satelliten etwa einen rechten Winkel. Die Laufzeit kann ja aus verschiedenen in diesem Kapitel erklärten Gründen nicht ganz exakt bestimmt werden, was durch die grauen Bereiche um die "Laufzeitkreise" dargestellt wird. Der "Schnittpunkt" A der beiden Kreise ist nun eine relativ kleine annähernd quadratische Fläche (blau), die Positionsbestimmung wird sehr genau sein.

Befinden sich sich die beiden Satelliten jetzt vom Betrachter aus gesehen eher mehr hintereinander, so ergibt die Schnittfläche der möglichen Positionen an denen man sich befindet eine wesentlich größere und in die Länge gezogene Fläche. Als Folge davon ist die Positionsbestimmung weniger genau. Die Satellitengeometrie muss auch berücksichtigt werden, wenn der GPS- Empfänger in Fahrzeugen oder in der Nähe von hohen Gebäuden verwendet wird. Wenn einige Satellitensignale abgeblockt werden, so entscheiden die restlichen Satellitenpositionen darüber, wie gut die Positionsbestimmung sein wird und ob überhaupt eine Positionsbestimmung möglich ist. Dies kann häufig sehr gut innerhalb von Gebäuden in Fensternähe beobachtet werden. Wenn noch eine Positionsbestimmung möglich ist, ist diese meist sehr ungenau. Je größer der verdeckte Bereich des Himmels ist, desto schwieriger wird die Positionsbestimmung. Die meisten GPS Empfänger zeigen nicht nur an, welche Satelliten empfangen werden, sondern bieten darüber hinaus auch eine Positionsanzeige der Satelliten an. Dies ermöglicht es dem Benutzer zu Erkennen, ob ein zur Positionsbestimmung nötiger Satellit eventuell durch ein Hindernis verdeckt wird und vielleicht ein paar Meter weiter wesentlich bessere Empfangsbedingungen herrschen würden. Viele Geräte zeigen ein Maß für die Genauigkeit der Messwerte an, die meist ein Kombinationswert verschiedener Faktoren ist und über deren genaue Berechnung die Hersteller nur ungern Auskunft geben. Für die "Güte" der Satellitengeometrie sind die DOP-Werte (dilution of precision; Verschlechterung der Genauigkeit) sehr verbreitet. Je nachdem, welche Daten bei der Berechnung herangezogen werden unterscheidet man zwischen verschiedenen DOP-Werte:

  • GDOP (Geometric Dilution Of Precision); Gesamtgenauigkeit; 3D-Koordinaten und Zeit
  • PDOP (Positional Dilution Of Precision) ; Positionsgenauigkeit; 3D-Koordinaten
  • HDOP (Horizontal Dilution Of Precision); Horizontalgenauigkeit; 2D-Koordinaten
  • VDOP (Vertical Dilution Of Precision); Vertikalgenauigkeit; Höhe
  • TDOP (Time Dilution Of Precision); Zeitgenauigkeit; Zeit

So sind HDOP-Werte unter 4 sehr gut, über 8 jedoch schlecht. Die HDOP Werte werden schlechter, wenn sich die empfangenen Satelliten hoch am Himmel befinden. VDOP Werte hingegen sind eher schlechter, wenn sich die Satelliten sehr nahe am Horizont befinden und die PDOP Werte sind am besten, wenn sich ein Satelliten über Kopf und drei weitere gleichmäßig am Horizont verteilt befinden. Für eine gute Bestimmung sollte der GDOP-Wert nicht über 5 sein. Die PDOP, HDOP und VDOP Werte werden im NMEA-Datensatz $GPGSA ausgegeben.

Die Satellitengeometrie verursacht keinen Fehler in der Positionsbestimmung, der mit Meterangaben fassbar ist. Vielmehr vervielfachen die DOP-Werte die anderen Fehler. Hohe DOP-Werte wirken sich also auf die restlichen Fehler einfach stärker aus, als niedere DOP-Werte.

Wie bereits weiter oben erwähnt, hängt der Fehler der Positionsbestimmung durch die Satellitengeometrie auch vom Breitengrad des Empfängers ab. Anhand von zwei Diagrammen kann dies veranschaulicht werden. Das linke Diagramm zeigt den Höhenfehler (anfangs noch mit SA eingeschaltet) aufgenommen in Wuhan (V. R. China), welches auf 30,5 ° nördlicher Breite liegt und somit praktisch immer ideale Satellitenkonstellationen vorfindet. Das rechte Diagramm zeigt den gleichen Messzeitraum aufgenommen auf der Casey-Station in der Antarktis (66,3 ° südliche Breite). Bedingt durch die dort zeitweise sehr ungünstige Geometrie fällt der Fehler deutlich größer aus. Die Skala beträgt jeweils 150 m um die wahre Position. Zusätzlich kommt es, je näher man zu den Polen kommt zu einer Verschlechterung der Positionsgenauigkeit dadurch, dass die Signale flacher durch die Atmosphäre laufen und somit eine "dickere" Atmosphäre "sehen", die zu zusätzlichen Fehlern führt (siehe atmosphärische Effekte).

Höhenfehler in verschiedenen Breitengraden.
(Diagramme entnommen von http://www.ngs.noaa.gov/FGCS/info/sans_SA/world/.
Mit freundlicher Genehmigung von Dr. Milbert (NOAA))
Höhenfehler an mittleren Breitengraden Höhenfehler an extremen Breitengraden

Satellitenumlaufbahnen

Obwohl die GPS Satelliten sich in sehr präzisen Umlaufbahnen befinden kommt es zu leichten Schwankungen durch Gravitationskräfte. So beeinflussen Sonne und Mond die Bahnen geringfügig. Die exakten Bahndaten werden jedoch regelmäßig kontrolliert und auch korrigiert und in den Ephemeridendaten zu den Empfängern gesandt. Dadurch bleibt der für die Positionsbestimmung resultierende Fehler mit ca. 2 Metern sehr gering.

 

Mehrwegeeffekt (Multipath)

Der Mehrwegeeffekt hat nichts mit Rohstoffrecycling zu tun, es ist ein Effekt, der durch die Reflektion der Satellitensignale (Radiowellen) an Objekten zustande kommt und ist übrigens der gleiche Effekt, der Geisterbilder bei Fernsehbildern verursachte, als noch die normale Dachantenne üblich war (die Generation der nicht Kabel- und Schüsselverwöhnten kennt das noch).

Bei GPS-Signalen tritt dieser Effekt besonders stark durch Reflektion an hohen Gebäuden oder anderen Erhebungen auf. Das reflektierte Signal braucht länger, um zum Empfänger zu gelangen als das direkt empfangene Signal. Der daraus resultierende Fehler liegt typischerweise bei wenigen Metern, kann aber auch mehrere Kilometer betragen. Die von den Satelliten ausgestrahlten Signale sind rechtsherum polarisiert und die Antennen der Empfänger sind so kontruiert, dass nur diese Signale optimal empfangen werden. Bei Helix-Antennen kann man das sogar sehen, da die Drähte gedreht sind, daher der Name Helix. Bei reflektierten Signale hingegen ändert sich meist die Polarisierungsrichtung und die Signale können von der Antenne nicht (so gut) erfasst werden. Es liegt also vor allem an der Konstruktion der Antenne, wie gut der Mehrwegeffekt unterdrückt wird. Bei der Konstruktion von Patch-Antennen ist es übrigens schwieriger, die Unterscheidung für die unterschiedliche Polarisierung zu erhalten.

 

Atmosphärische Effekte

Weiterhin zum Genauigkeitsfehler trägt die durch atmosphärische Effekte in der Troposphäre und Ionosphäre verringerte Ausbreitungsgeschwindigkeit bei. Während sich Radiosignale im Weltall mit Lichtgeschwindigkeit ausbreiten, breiten sich diese in der Ionosphäre und der Troposphäre mit geringerer Geschwindigkeit aus.

So werden in der Ionosphäre durch die ionisierende Wirkung der Sonne in einer Höhe von ca. 80 bis 400 km Elektronen und positive Ionen in großer Zahl gebildet. Diese konzentrieren sich in vier leitenden Schichten innerhalb der Ionosphäre (D-, E-, F1-, und F2- Schicht). Diese Schichten reflektieren bzw. brechen die elektromagnetischen Wellen der Navigationssatelliten. Daraus folgt eine längere Laufzeit der Satellitensignale.

Diese Fehler werden größtenteils im Empfänger durch entsprechende Berechnungen kompensiert. Dies geschieht dadurch, dass man die typischen Geschwindigkeitsabweichungen bei tiefen und hohen Frequenzen während der Ionosphärendurchdringung an einem Standardtag zu Standardbedingungen kennt und bei allen Entfernungsberechnungen mit einbezieht. Was bei zivilen Empfängern nicht kompensiert werden kann ist eine unvorhergesehene Laufzeitänderung beispielsweise durch veränderte Ionosphäre infolge starker Sonnenwinde.

Man weiß, dass sich elektromagnetische Wellen beim Durchgang der Ionosphäre umgekehrt proportional ihrer Frequenz zum Quadrat (1/f2) verlangsamen. Das bedeutet, daß sich elektromagnetische Wellen mit niedrigen Frequenzen stärker als solche mit hohen Frequenzen verlangsamen. Wenn man nun die bei einem Empfänger ankommenden hoch- und tieffrequenten Signale hinsichtlich ihrer unterschiedlichen Ankunftszeit untersucht, kann die ionosphärische Laufzeitverlängerung berechnet werden. Militärische GPS-Empfänger verwenden hierzu die Signale beider Frequenzen (L1 und L2), die unterschiedlich von der Atmosphäre beeinflusst werden und sind somit in der Lage einen weiteren Teil der Ungenauigkeit herauszurechnen.

Der Troposphärenfehler ist ein weiterer Faktor, der durch Brechung die Laufzeit elektromagnetischer Wellen verlängert. Ursache dafür sind die durch unterschiedliche Wetterlagen bedingten unterschiedlichen Wasserdampfkonzentrationen in der Troposphäre. Der hierdurch verursachte Fehler ist kleiner als der Ionosphärenfehler, lässt sich jedoch nicht herausrechnen und kann lediglich durch ein allgemeines Modell bei den Berechnungen angenähert werden.

Zur Veranschaulichung des Ionosphärenfehlers nun noch zwei Grafiken, die den Unterschied in der Positionsgenauigkeit zwischen Zweifrequenz-Empfängern mit Ionosphären-Korrektur und Einfrequenz-Empfängern verdeutlichen. Links die Streuung der Positionsbestimmung bei einem Einfrequenz-Empfänger, rechts bei einem Zweifrequenz-Empfänger. Beide Diagramme haben näherungsweise die gleiche Skala (Links: Breitengrad -15 m bis +10 m, Längengrad -10 m bis +20 m, Rechts: Breitengrad -12 m bis +8 m, Längengrad -10 m bis +20 m). Deutlich erkennbar ist das Verschwinden einzelner "Ausreisser" mit Ionosphären-Korrektur, während die mittlere Positionsgenauigkeit für 95 % der Messwerte nicht sehr stark verbessert wird.

Positionsbestimmung ohne und mit Atmosphärenkorrektur durch Verwendung der zweiten Frequenz.
(Diagramme entnommen von http://www.ngs.noaa.gov/FGCS/info/sans_SA/iono.
Mit freundlicher Genehmigung von Dr. Milbert (NOAA))
Positionsfehler mit Einfrequenzempfänger ohne Ionosphärenkorrektur Positionsfehler mit Zweikanalempfänger mit Ionosphärenkorrektur

Durch Einführung von WAAS und EGNOS (siehe hier) ist es möglich, "Karten" mit dem Einfluss der Atmosphäre (Ionosphäre) auf bestimmte Gebiete zu erstellen und diese Korrekturdaten an die Empfänger zu senden. Dadurch wird die Genauigkeit deutlich erhöht.

 

Uhrenungenauigkeit und Rundungsfehler

Eine weitere Fehlerquelle ist, trotz der Synchronisierung der Uhr während der Positionsbestimmung auf die Zeit der Satelliten, die verbleibende Ungenauigkeit der Empfänger-Uhr. Die verbleibende Uhrenungenauigkeit der Satelliten macht einen Fehler von ca. 2 Metern aus. Rundungs- und "Rechenfehler" der Empfänger bewirken etwa 1 Meter Ungenauigkeit.

 

Relativistische Effekte

Nachfolgender Abschnitt soll keine Erklärung der allgemeinen oder speziellen Relativitätstheorie sein. Im täglichen Leben glaubt man immer, nichts von der Relativitätstheorie zu merken, aber sie haben beispielsweise einen wichtigen Einfluss auf das Funktionieren des GPS-Systems. Genau deshalb soll kurz erklärt werden, weshalb.
Die Zeit ist, wie schon erwähnt, bei der ganzen GPS-Navigation ein sehr kritischer Faktor und muss bis auf 20 - 30 Nanosekunden genau bekannt sein, um die gewollte Genauigkeit zu erreichen. Genau deshalb spielt die schnelle Bewegung der Satelliten (fast 12000 km/h) eine Rolle.

Wer sich schon einmal mit der speziellen Relativitätstheorie auseinandergesetzt hat (oder auseinandergesetzt wurde!), weiss, dass bei schnellen Bewegung die Zeit langsamer vergeht als im Stillstand. Für die Satelliten, die sich mit 3874 m/s bewegen, bedeutet das aber, dass deren Uhren, von der Erde aus gesehen, langsamer gehen. Diese relativistische Zeitdilatation macht einen Zeitfehler von etwa 7,2 Mikrosekunden (1 Mikrosekunde = 10-6 Sekunden) pro Tag aus.
Die allgemeine Relativitätstheorie sagt nun aber zudem, dass die Zeit umso langsamer vergeht, je stärker das Gravitationsfeld ist, dem man ausgesetzt ist. Dieser Effekt führt nun dazu, dass ein Beobachter auf der Erde die Uhr des Satelliten, der ja in 20200 km Höhe einem geringeren Erdgravitationsfeld ausgesetzt ist, als der Beobachter, als zu schnell empfindet. Und dieser Effekt ist etwa sechsmal so groß die durch die Geschwindigkeit hervorgerufene Zeitdilatation.

In der Summe gesehen scheinen die Uhren der Satelliten also insgesamt etwas zu schnell zu laufen. Die Zeitverschiebung zum Beobachter auf der Erde wäre etwa 38 Mikrosekunden pro Tag und würde einen Gesamtfehler von etwa 10 Kilometern pro Tag ergeben. Damit man sich nicht ständig mit diesen Fehlern herumschlagen muss, haben sich die Entwickler der GPS-Systems etwas einfaches und schlaues einfallen lassen. Sie haben die Uhren der Satelliten auf 10.229999995453 Mhz anstatt 10.23 Mhz eingestellt, tun aber so, als hätten sie 10.23 MHz. Damit werden die relativistischen Effekte kompensiert.
Es gibt noch einen weiteren relativistischen Effekt, der bei normalen GPS-Positionsbestimmungen nicht berücksichtigt wird: Der Sagnac-Effekt. Dieser kommt dadurch zustande, dass sich ein Beobachter auf der Erde durch die Erdrotation ebenfalls mit bis zu 500 m/s (am Äquator) bewegt. Der Einfluss dieses Effekts ist sehr gering und kompliziert zu berechnen, da er richtungsabhängig ist, weshalb er nur in besonderen Fällen berücksichtigt wird. Wer das Ganze noch ein wenig ausführlicher wissen will, sollte hier nachsehen.

Insgesamt sieht die Fehlerbilanz des GPS-Systems etwa folgendermaßen aus, wobei die Werte keine festen Größen sind, sondern durchaus Schwankungen unterworfen sind. Die angegebenen Werte sind circa-Werte.

Störungen durch die Ionosphäre ± 5 Meter
Schwankungen der Satellitenumlaufbahnen ± 2.5 Meter
Uhrenfehler der Satelliten ± 2 Meter
Mehrwegeeffekt ± 1 Meter
Störungen durch die Troposphäre ± 0.5 Meter
Rechnungs- und Rundungsfehler ± 1 Meter

 

Insgesamt ergibt sich daraus ein Fehler von ± 12 Metern. Mit aktivierter SA waren es hingegen noch etwa ± 100 Meter. Mit Korrektur durch Systeme wie WAAS und EGNOS, wodurch vor allem Ionosphäreneffekte aber auch Umlaufbahnen und Uhrenfehler reduziert werden, wird der Fehler auf etwa ± 3 - 5 Meter reduziert.

Für eine Erklärung der Begriffe Präzision, Genauigkeit und Richtigkeit siehe hier.